ÉTUDES
COMMENT MESURER L'EFFET DE LEVIER D'UN FONDS ?

Jean-François Boulier
Responsable de la gestion de taux euro et crédit, Crédit agricole Asset Management

Denis Zhang
Gérant de portefeuille, Crédit agricole Asset Management

Le but de cette étude est de proposer une mesure de l'effet de levier applicable aux dérivés financiers linéaires ainsi qu'aux dérivés complexes. Le principe s'inspire de la VaR afin que la mesure du risque de solvabilité et celle du risque de perte puissent être effectuées avec les mêmes outils dont sont déjà équipés la plupart des gérants de fonds. Plusieurs exemples sont analysés, avec pour objectif d'illustrer l'application de cette méthode à des cas concrets.

L'effet de levier d'un fonds est une notion paradoxalement complexe à mesurer. Le besoin de le mesurer vient de la réglementation qui encadre l'utilisation de produits dérivés dans les fonds, notamment dans le cadre de la directive OPCVM.

L'objectif de la réglementation, en limitant l'effet de levier (dans le ratio d'engagement), est de limiter deux types de risque : le premier est celui de l'insolvabilité du fonds qui ne serait pas en mesure de répondre à ses engagements, le deuxième est le risque de perte de richesse du porteur de parts.

Le premier type, la mesure du risque d'insolvabilité, fait désormais l'objet d'un large consensus. La value at risk - en abrégé VaR - (Boulier et al., 1997 ; Jorion, 2004) sert de référence à la réglementation bancaire internationale, l'exigence des fonds propres relative aux risques de marché s'établissant comme le produit de la VaR pour un nombre supérieur à 3. Transposé à un fonds qui investit en titres et instruments de marché, cela revient à limiter la VaR à un maximun d'un tiers de la valeur liquidative du fonds. Rappelons que la VaR correspond à la perte maximale potentielle à un niveau de probabilité donné, pendant une période donnée au cours de laquelle aucune modification n'est apportée au portefeuille.

Le deuxième type de risque relève davantage de la mauvaise surprise, la réglementation visant à empêcher que l'usage excessif de produits dérivés ne dénature le risque « habituel » d'un fonds, notamment au regard de sa catégorie (ou de son univers d'investissement) ou de son benchmark (indice de référence éventuellement indiqué par le gérant).

Dans le cas simple d'un fonds utilisant des contrats futures portant sur un seul sous-jacent, par exemple un fonds d'actions répliquant l'indice Cac 40 avec soit des titres soit des contrats Cac 40, la mesure de l'effet de levier est évidente. Le sous-jacent qui génère le risque est le Cac 40. L'effet de levier du fonds est alors le ratio de l'exposition effective du fonds (par ses actions et par les positions en dérivés) et de celle d'un panier d'actions du Cac 40 de même valeur que le fonds.

Dans les cas plus complexes, l'image se brouille sérieusement. Ou bien le produit dérivé n'est pas linéaire et le recours à la dérivée (le delta de l'option) peut s'avérer problématique notamment pour les options ayant localement de très forts delta (option digitale, à barrière, et pour toutes les options à l'expiration, au voisinage du prix d'exercice). Ou bien le produit dérivé est sensible à plusieurs sous-jacents. Sans oublier les combinaisons de différents produits dérivés et de différents sous-jacents.

L'idée de cette note est de généraliser la mesure du levier dans un cas simple aux cas qui ne le sont plus. La proposition est exposée dans la partie suivante. Ensuite plusieurs exemples d'application sont analysés. Enfin, quelques remarques sur les limites de l'approche seront faites.

■ Proposition

VaR : value at risk à 95 % et 5 jours par exemple, car, sauf cas particulier, une semaine est pour les produits dérivés liquides un temps d'intervention largement suffisant. Le niveau de probabilité ne doit pas être trop élevé pour que des cas suffisamment fréquents soient pris en compte dans le calcul du ratio (une VaR à 95 % 5 jours a une durée de retour de l'ordre de 6 mois).

Le portefeuille sous-jacent : le portefeuille « normal » correspondant au risque « habituel ». Il pourra être soit : le benchmark du fonds, un indice de la catégorie du fonds, un portefeuille de titres éligibles (ou instruments financiers éligibles), dont le comportement est très similaire au fonds, à l'amplification près apportée par les produits dérivés. La détermination d'un tel portefeuille sera évoquée plus loin.

Le premier avantage de cette mesure est qu'elle coïncide avec l'effet de levier dans le cas simple. Le deuxième avantage, plutôt qu'une dérivée ponctuelle, c'est un accroissement discret sur une plage de variation normalisée. Ainsi, les problèmes « théoriques » de dérivés infinis aux points singuliers sont évités, mais traités de manière cohérente. Le troisième avantage est que les effets de corrélation sont pris en compte au numérateur et au dénominateur. La prise en compte des corrélations rend difficile l'utilisation de scénarios de stress et les risques de pertes maximales.

Le portefeuille sous-jacent est caractérisé par le fait qu'il est constitué d'actifs éligibles pour un montant identique à celui du fonds, par un comportement très proche de celui du fonds. Comment mesurer cette proximité ? Un indicateur classique tel que la corrélation pourra être employé avec un niveau de l'ordre de 90% par exemple. Une autre construction est possible à partir de la VaR incrémentale (Litterman, 1996), comme cela est développé ci-après.

Si le portefeuille consiste en actifs et produits dérivés sensibles en quantité x₁, x₂, ..., x_n alors

où les sont liées à l'accroissement de la position x_i.

est la dérivée partielle de VaR par rapport à x_i.

Le produit est appelé VaR incrémentale (Gaussel et al, 2000).

En conservant le seuil de 90 % (comme pour la corrélation), on ne retient que les p premières contributions à la VaR, p étant tel que :

puis on considère le portefeuille dont les poids en actifs sont égaux à leur contribution à la VaR ( ).

C'est le portefeuille sous-jacent.

■ Exemples

La méthode présentée dans la partie précédente est illustrée à l'aide d'exemples de fonds garantis dont la liste figure sur le tableau 1. Il s'agit pour l'essentiel de fonds constitués d'un zéro-coupon et d'un ou plusieurs produits.

Les produits dérivés sont évalués dans le cadre classique de Black-Scholes avec le taux d'intérêt sans risque constant et sans dividende. Les paramètres d'évaluation sont illustrés sur le tableau 2.

Tab. 1 Description des fonds

Tab. 2 Paramètres d'évaluation des options

■ Premier exemple : un zéro-coupon + un call sur un seul sous-jacent

Le zéro-coupon est supposé être remboursé à l'échéance au nominal du fonds, le fonds est donc de type 100 % capital garanti. Quatre sortes de call européen sont analysées dans cet exemple : call vanille, call digital, call spread et call à barrière.

Les résultats obtenus sont d'abord présentés sur le tableau 3 mettant en parallèle la VaR théorique du portefeuille et la VaR résultant de l'application de la méthode VaR incrémentale. Comme on l'a expliqué dans la partie précédente, la VaR à 95 % et l'horizon de 5 jours est adoptée. Le portefeuille sous-jacent est dans ce cas constitué par l'indice Cac 40.23

Tab. 3 Effet de levier et portefeuille sous-jacent

Il convient de remarquer que l'effet de levier ne reste pas constant quand l'échéance du fonds s'approche. De plus, il peut également varier en fonction de l'intervalle de confiance ou l'horizon de la VaR. On observe que la variation est sensible dans le cas de l'option à barrière, surtout quand le cours de l'indice approche de la barrière. Les tableaux 4, 5, 6 et 7 illustrent la conséquence sur l'effet de levier en modifiant les différents paramètres.

Tab. 4 Effet de levier en fonction de la maturité dans le cas d'un call à barrière désactivante

Tab. 5 Effet de levier en fonction de l'horizon dans le cas d'un call à barrière désactivante

Tab. 6 Effet de levier en fonction de la maturité, horizon et intervalle de confiance dans le cas d'un call à barrière désactivante

Tab. 7 Effet de levier et la barrière

En conclusion, l'horizon et l'intervalle de la VaR ont peu d'influence alors que les caractéristiques de l'option de sa maturité sont déterminantes et, en particulier, la place de la barrière.

■ Deuxième exemple : un zéro-coupon + un ou plusieurs calls sur un panier de sous-jacent

Les hypothèses de l'exemple précédent sont reprises ici. En outre, les sous-jacents deviennent un panier d'actions composant l'indice. Deux cas sont analysés : un call de type « best of » du Cac 40 et du DJ 30 et deux calls sur le Cac 40 et le DJ 30 respectivement.

Le fonds garanti de type « best of » est indexé sur la meilleure performance d'un panier de l'indice (ici le Cac 40 et le DJ 30). On décompose d'abord la VaR du portefeuille par la VaR incrémentale du Cac 40 et celle du DJ 30, le portefeuille sous-jacent est constitué ensuite de l'indice Cac 40 et de l'indice DJ 30 dans les mêmes proportions que leur contribution à la VaR du fonds.

Dans le cas de deux calls, le portefeuille sous-jacent est constitué sur l'hypothèse selon laquelle la VaR du portefeuille peut être décomposée par la VaR incrémentale des sous-jacents.

Tab. 8 Fonds garanti de type « Best of »

Tab. 9 Portefeuille de deux calls

Le tableau 9 montre la décomposition de la VaR par les VaR incrémentales des sous-jacents. Le portefeuille sous-jacent est constitué, comme dans le cas précédent, selon les proportions des contributions de la VaR du Cac 40 et du DJ 30 respectivement.

■ Troisième exemple : Application aux dérivés de crédit

Le marché des dérivés de crédit a connu une croissance extraordinaire depuis ces dernières années. De nombreux nouveaux instruments sont créés en permanence pour répondre aux différentes préférences des investisseurs : par exemple Credit Default Swap, First to Default Basket, Collateralized Debt Obligations, Option sur CDS, etc. La complexité des produits rend la mesure de l'effet de levier plus difficile. Les résultats ne sont pas toujours évidents.

Supposons un portefeuille constitué par une obligation zéro-coupon sans risque et une tranche equity d'un CDO. À la maturité, le zéro-coupon assure le remboursement du capital, et la tranche equity du CDO permettra aux investisseurs de gagner plus que le monétaire, bien sûr si tout se passe bien. Naturellement, le portefeuille du CDO est considéré comme le portefeuille sous-jacent. Le tableau 10 illustre l'effet de levier de cette transaction.

Tab. 10 Zéro-coupon et une tranche Equity d'un CDO

■ Conclusion

Nous proposons dans cette note une méthode simple pour mesurer l'effet de levier d'un fonds, en particulier dans le cadre d'utilisation des dérivés financiers. Plusieurs cas concrets sont analysés dans les différentes circonstances. Les résultats de l'étude ont montré que cette méthode capture bien le rapport du risque « mark to market » d'un fonds et son portefeuille sous-jacent. Ce texte, rédigé originalement il y a deux ans, a contribué aux discussions que les gérants de portefeuille et leurs négociateurs ont eu à l'occasion de l'adaptation au droit français de la directive OPCVM. Plusieurs des idées exprimées ont effectivement été reprises dans la réglementation.

Notes

1. Cas d'une barrière « down and out » à barrière 2800

2. Spread : 3200/3260

3. Call « down and out » barrière à 2800

Bibliographie

BOULIER, J.F. ; BRABANT, A. ; DALAND, R. and DIEU, A.L. ; Risque de marché : Vue de profil, Quants , n° 28, 1997.

GAUSSEL, N. ; LEGRAS, J. ; LONGIN, F. and RABEMANANJARA, R. ; Au-delà de la var, Quants, n° 37, 2000.

JORION, P. ; Value at risk : the new benchmark for controlling market risk, Risk, 18, 79-85, 2004.

LITTERMAN, B. ; Hot spots and hedges, Journal of Portfolio Management (Special issue, « A Tribute to Ficher Black »), 22, n° 5, p. 52-75, 1996.